Rovina

Vektorově:

Po složkách: ,...

kde:

Bod b leží v rovině pokud vznikl přičtením libovolného t-násobku vektoru u a libovolného s-násobku vektoru v k jinému bodu a, ležícímu v téže rovině.

Pro reprezentaci roviny je nutné uchovávat jeden bod roviny a dva její různé vektory, vycházející z tohoto bodu.

Vektory u a v je dobré uchovávat v normalizovaném tvaru

Vektorově:

Po složkách:

kde:

Bod a leží v rovině pokud jeho skalární součin s normálovým vektorem roviny n je po přičtení konstanty d roven nule

Normálový vektor je dobré uchovávat v normalizovaném (jednotkovém) tvaru

Podobné jako pro obecnou rovnici přímky v rovině. Pokud je n v normalizovaném tvaru, je opět skalární součin vektorů a a n skalární projekcí a na n, jejímž výsledkem je délka ortogonálního průmětu vektoru a do n, tedy vzdálenost roviny od počátku. Konstantu d určíme dosazením bodu, který leží v rovině do obecné rovnice této roviny a vyjde opačná hodnota vzdálenosti roviny od počátku (viz obr2).

Pokud není normálový vektor v normalizovaném tvaru, vztah platí stejně, přesvědčit se o tom můžeme stejným způsobem jako u obecné rovnice přímky. Rozepíšeme skalární součin pro a n jako výraz v závorce je opět skalární projekcí a na n a je násoben délkou vektoru n, ta je ale pro danou přímku konstantní ⇒ konstanta c bude také násobkem hodnoty, které by se konstanta c rovnala při jednotkovém vektoru n ⇒ pokud dosadíme do rovnice bod, který na přímce leží, vyjde opět nula.

Po dosazení bodu, který na dané přímce neleží, do rovnice této přímky, rovnost platit nebude (viz obr3).

Bod z vektorového prostoru s dimenzí dim >= 3 leží v rovině, pokud po dosazení tohoto bodu do rovnice roviny nastane rovnost.

Bod z vektorového prostoru s dimenzí dim >= 3 neleží v rovině, pokud po dosazení tohoto bodu do rovnice roviny nenastane rovnost.

Hledáme-li vzdálenost bodu b od roviny popsané bodem a a vektory u, v, postupujeme následovně:

Pro nalezení vzdálenosti l bodu b od roviny s normálovým vektorem n, použijeme vzorec:

Výraz v čitateli představuje obecnou rovnici dané roviny, výraz ve jmenovateli je velikost jejího normálového vektoru, pokud je tedy normálový vektor už v normalizovaném tvaru, jmenovatel je roven jedné a nemusíme jej ve vzorci uvažovat.

Z obr2 je zřejmé že po dosazení bodu b do vzorce se odečte vzdálenost roviny od počátku od vzdálenosti ortogonálního průmětu bodu b do vektoru n od počátku a dostaneme tedy vzdálenost bodu b od dané roviny.

Přímka protíná rovinu, pokud s ní má právě jeden společný bod.

Přímka leží v rovině pokud v této rovině leží alespoň dva její body ⇔ jeden bod přímky leží v rovině a směrový vektor přímky leží v rovině (je kolmý na normálový vektor roviny nebo je lineární kombinací obou směrových vektorů roviny)

Přímka p je rovnoběžná s rovinou r, pokud rovina obsahuje alespoň jednu přímku p’, která je s přímkou p rovnoběžná.

Je-li přímka rovnoběžná s dvěma různoběžnými rovinami, je rovnoběžná i s jejich průsečnicí.

Průsečík přímky a roviny nalezneme tak, že všechny rovnice obou parametrických vyjádření položíme sobě rovny, dostaneme tak pro n rozměrný prostor (n >= 3) soustavu n rovnic o neznámých t, s a z. Po vyřešení soustavy zbyvá dosadit t do rovnic pro p, nebo s a z do rovnic pro r a získáme souřadnice průsečíku přímky p s rovinou r.

Hledáme průsečík přímky a roviny

Dosadíme všechny tři rovnice pro výpočet jednotlivých souřadnic bodu x přímky p za odpovídající souřadnice bodu x v rovnici roviny r

Určíme hodnotu parametru a po jejím dosazení do rovnice přímky p dostaneme souřadnice průsečíku přímky p a roviny r.

Poznámka: pokud je ve vztahu pro výpočet t jmenovatel nulový, rovnice nemá řešení ⇒ průsečík neexistuje ⇒ rovina r a přímka p jsou rovnoběžné (směrový vektor přímky a normálový vektor roviny jsou na sebe kolmé).