====== Rovina ======

===== Vyjádření roviny =====


==== Parametrické vyjádření ====
=== Zápis ===
{{ planeparam.png?200|obr1: Rovina}}
  * Vektorově: <m>b = a + u t + v s</m> 
  * Po složkách: <m>b_1 = a_1 + u_1 t + v_1 s</m>,...<m>b_n = a_n + u_n t + v_n s</m>
  * kde:
    * **a**, **b** jsou body ležící v rovině
    * **u**, **v** jsou vektory ležící v rovině
    * **t**, **s** jsou parametry
    * **n** je dimenze prostoru, ve kterém je rovina popisována
=== Význam ===
  * Bod **b** leží v rovině pokud vznikl přičtením libovolného **t**-násobku vektoru **u** a libovolného **s**-násobku vektoru **v** k jinému bodu **a**, ležícímu v téže rovině.
  * Pro reprezentaci roviny je nutné uchovávat jeden bod roviny a dva její různé vektory, vycházející z tohoto bodu.
  * Vektory **u** a **v** je dobré uchovávat v normalizovaném tvaru

==== Obecná rovnice (pouze v prostoru) ====
=== Zápis ===
{{ planegena.png?200|obr2: Obecná rovnice roviny}}
  * Vektorově: <m>dot(a, n) + d = 0</m>
  * Po složkách: <m>a_1 n_1 + a_2 n_2 + a_3 n_3 + d = 0</m>
  * kde:
    * **a** je bod ležící v rovině (tzn. vektor od počátku soustavy souřadnic k tomuto bodu)
    * **n** je normálový vektor roviny
    * **d** je vzdálenost roviny od počátku soustavy souřadnic
=== Význam ===
  * Bod **a** leží v rovině pokud jeho [[skalarnisoucin|skalární součin]] s normálovým vektorem roviny **n** je po přičtení konstanty **d** roven nule
  * Normálový vektor je dobré uchovávat v normalizovaném (jednotkovém) tvaru
=== Osvětlení ===
{{ planegenb.png?200|obr3: Bod neležící v rovině}}
  * Podobné jako pro [[primka#Obecná rovnice (pouze v rovině)|obecnou rovnici přímky v rovině]]. Pokud je **n** v normalizovaném tvaru, je opět [[skalarnisoucin|skalární součin]] vektorů **a** a **n** [[skalarniprojekce|skalární projekcí]] **a** na **n**, jejímž výsledkem je délka ortogonálního průmětu vektoru **a** do **n**, tedy vzdálenost roviny od počátku. Konstantu **d** určíme dosazením bodu, který leží v rovině do obecné rovnice této roviny a vyjde opačná hodnota vzdálenosti roviny od počátku (viz **obr2**).
  * Pokud není normálový vektor v normalizovaném tvaru, vztah platí stejně, přesvědčit se o tom můžeme stejným způsobem jako u [[primka#Obecná rovnice (pouze v rovině)|obecné rovnice přímky]]. Rozepíšeme [[skalarnisoucin|skalární součin]] pro **a** **n** jako <m>dot(a, n) = delim{|}{delim{|}{n}{|}}{|} (delim{|}{delim{|}{a}{|}}{|} cos α)</m> výraz v závorce je opět [[skalarniprojekce|skalární projekcí]] **a** na **n** a je násoben délkou vektoru **n**, ta je ale pro danou přímku konstantní => konstanta **c** bude také <m>delim{|}{delim{|}{n}{|}}{|}</m> násobkem hodnoty, které by se konstanta **c** rovnala při jednotkovém vektoru **n** => pokud dosadíme do rovnice bod, který na přímce leží, vyjde opět nula.
  * Po dosazení bodu, který na dané přímce neleží, do rovnice této přímky, rovnost platit nebude (viz **obr3**).



===== Vzájemná poloha bodu a roviny - klasifikace =====

==== Bod ležící v rovině ====
  * Bod z vektorového prostoru s dimenzí dim >= 3 leží v rovině, pokud po dosazení tohoto bodu do rovnice roviny nastane rovnost.
==== Bod ležící mimo rovinu ====
  * Bod z vektorového prostoru s dimenzí dim >= 3 neleží v rovině, pokud po dosazení tohoto bodu do rovnice roviny nenastane rovnost.


===== Vzájemná poloha bodu a roviny - operace =====

==== Vzdálenost bodu od roviny ====

=== Parametrické vyjádření roviny ===
  * Hledáme-li vzdálenost bodu **b** od roviny popsané bodem **a** a vektory **u**, **v**, postupujeme následovně: 
    - Za pomoci [[vektorovysoucin|vektorového součinu]] sestrojíme normálový vektor **n** k vektorům **u**, **v**
    - Nalezený normálový vektor bude směrovým vektorem nové přímky, která bude procházet bodem **b**
    - Nalezneme [[#Průsečík přímky a roviny|průsečík]] přímky a dané roviny
    - Vzdáleností bude délka vektoru mezi nalezeným průsečíkem a bodem **b**
=== Obecná rovnice roviny (pouze v prostoru) ===
  * Pro nalezení vzdálenosti **l** bodu **b** od roviny s normálovým vektorem **n**, použijeme vzorec: <m>l = {b n + d}/{delim{|}{delim{|}n{|}}{|}}</m>
  * Výraz v čitateli představuje obecnou rovnici dané roviny, výraz ve jmenovateli je velikost jejího normálového vektoru, pokud je tedy normálový vektor už v normalizovaném tvaru, jmenovatel je roven jedné a nemusíme jej ve vzorci uvažovat.
  * Z **obr2** je zřejmé že po dosazení bodu **b** do vzorce se odečte vzdálenost roviny od počátku od vzdálenosti ortogonálního průmětu bodu **b** do vektoru **n** od počátku a dostaneme tedy vzdálenost bodu **b** od dané roviny. 


===== Vzájemná poloha přímky a roviny - klasifikace =====


==== Přímka protínající rovinu ====
  * Přímka protíná rovinu, pokud s ní má právě jeden společný bod.

==== Přímka ležící v rovině ====
  * Přímka leží v rovině pokud v této rovině leží alespoň dva její body <=> jeden bod přímky leží v rovině a směrový vektor přímky leží v rovině (je kolmý na normálový vektor roviny nebo je lineární kombinací obou směrových vektorů roviny)

==== Přímka rovnoběžná s rovinou ====
  * Přímka **p** je rovnoběžná s rovinou **r**, pokud rovina obsahuje alespoň jednu přímku **p'**, která je s přímkou **p** rovnoběžná. 
  * Je-li přímka rovnoběžná s dvěma různoběžnými rovinami, je rovnoběžná i s jejich průsečnicí.


===== Vzájemná poloha přímky a roviny - operace =====



==== Průsečík přímky a roviny ====
{{ planelineintersect.png?200|obr4: Průsečík přímky a roviny}}

=== Parametrické vyjádření roviny ===
  * Průsečík přímky <m>p: x = a + t v</m> a roviny <m>r: x = b + s u + z w</m> nalezneme tak, že všechny rovnice obou parametrických vyjádření položíme sobě rovny, dostaneme tak pro **n** rozměrný prostor (**n** >= 3) soustavu **n** rovnic o neznámých **t**, **s** a **z**. Po vyřešení soustavy zbyvá dosadit **t** do rovnic pro **p**, nebo **s** a **z** do rovnic pro **r** a získáme souřadnice průsečíku přímky **p** s rovinou **r**.

=== Obecná rovnice roviny (pouze v prostoru) ===
  * Hledáme průsečík přímky <m>p: x = a + t v</m> a roviny <m>r: dot(n, x) + d = 0</m> 
  * Dosadíme všechny tři rovnice pro výpočet jednotlivých souřadnic bodu **x** přímky **p** za odpovídající souřadnice bodu **x** v rovnici roviny **r**
  * Určíme hodnotu parametru <m>t = -{{dot(n, a) + d}/{dot(n, v)}}</m> a po jejím dosazení do rovnice přímky **p** dostaneme souřadnice průsečíku přímky **p** a roviny **r**.
  * Poznámka: pokud je ve vztahu pro výpočet **t** jmenovatel <m>dot(n,v)</m> nulový, rovnice nemá řešení => průsečík neexistuje => rovina **r** a přímka **p** jsou rovnoběžné (směrový vektor přímky a normálový vektor roviny jsou na sebe kolmé).